Resolva a equação 2x3 – 3x2 – 3x + 2 = 0

            A resolução a seguir depende do seu conhecimento sobre Briot-Ruffini e de como tratar os coeficientes do quociente para produzir uma a outra equação polinomial de grau imediatamente inferior à proposta

           

Trata-se de uma Equação Recíproca de 1ª ordem e de grau ímpar. Facilmente se verifica que –1 é uma solução por substituição direta.

A divisão pelo dispositivo prático de Briot-Ruffini de P(x) = 2x3 – 3x2 – 3x + 2 por x + 1 determinará um quociente Q(x) de grau 2. Assim, utilizando-se do dispositivo prático de Briot-Ruffini, faremos a divisão por x + 1 para verificar que –1 é uma solução.

                        2x³       –     –     +

                                   3x²  3x + 2      

de x+1 use sua raiz, ou seja, -1:

                           –1/ 2 / -3 / -3 / 2

                                2 / -5 / 2 / 0            0 — este é o resto R(x) = 0

                       Q(x) =2x²– 5x+ 2

             

Dos coeficientes do quociente 2, –5 e 2 temos a equação Q(x) = 0, do 2º grau porque Q(x) = 2x2 – 5x + 2 . Você pode constatar rapidinho que 2 e 1/2 são suas soluções.

Se A(x) é dividendo, B(x) é divisor, C(x) quociente e D(x) resto, então:

A(x) = B(x)C(x) + R(x)

Se A(x) é divisível por B(x), então R(x) = 0 para todo x de seu domínio. Assim passa a valer que

A(x) = B(x)C(x)

As soluções de Q(x) = 0 são SEMPRE soluções de P(x) = 0 pois o resto da divisão é zero [P(x) é divisível por x + 1]. Repare:

P(x) = (x + 1)Q(x) + 0

P(x) = (x + 1)Q(x)

Repare que se Q(x) se anular, implica que P(x) também se anulará.

Portanto, o conjunto solução de 2x3 – 3x2 – 3x + 2 = 0 é

S = {–1, 2, 1/2}